탑클래스의 수학 문단속 도형의 방정식 내분점과 외분점

1. 수직선 위의 내분점과 외분점

점 A와 점 B의 사이에 어떤 점 P를 놓고 이 지점을 기준으로 선분 AP와 선분 PB의 길이 비를 내분이라고 하며 내분점 P는 아래의 그림과 같이 구할 수 있다. 

내분점을 구하는 과정 

ㄱ. 선분 AP의 길이: p-a  선분 PB의 길이: b-a 를 구한다.

ㄴ. 선분의 길이를 이용해서 비례식을 세운다.

ㄷ. 비례식을 풀어 p에 대한 방정식을 푼다.

위 3단계를 거치면 쉽게 내분점을 찾을 수 있다. 

 

외분점은 선분 AB밖에 있는 한 점을 기준으로 하는 길이비를 말한다. 외분점을 구하는 단계는 위 내분점을 구하는 단계와 동일한 방식을 따르면 된다.  ㄱ. 선분의 길이를 구한다. ㄴ. 선분의 길이를 이용해 비례식을 세운다. ㄷ. 비례식을 풀어 q를 구한다.

 

<예시문항>

2. 좌표평면에서 내분과 외분

좌표평면에서 내분점과 외분점을 들어가기에 앞서 중학교2학년 교육과정의 닮음비 그리고 좌표평면에 대한 좌표점에 대한 이해가 필요하다.

(간략 설명)

닮음

아래의 그림과 같이 어떤 두 도형이 닮음이라고 하면 대응변의 길이비는 모두 같으며 넓이는 대응변의 길이의 제곱에 비례한다. 

따라서 닮음을 이용해서 어떤 도형의 변의 길이를 구하려고 하면 다음과 같은 방법을 통해 길이를 특정할 수 있다.

ㄱ.  대응변의 길이에 대한 비례식을 세운다.

ㄴ. 방정식을 만들어 값을 구한다.

좌표 표현하기

아래 그림의 점 A와 점 B의 위치관계는 어떻게 표현 할 수 있을까? 이 둘의 위치관계를 설명하기 위해서는 두 공간에 의미를 부여해야 한다. 이때 의미를 부여한다는 의미는 두 공간에 대한 보편성을 말하며 이는 지구에 있는 사람도 화성에 있는 사람도 모두 같아야 한다. 의미를 부여하는 가장 좋은 방법은 평면 공간의 경우 수직인 두 개의 기준(x축과 y축)을 가지고 설명하면 된다. (수학에서 수직은 물리에서 서로 영향을 줄 수 없는 이라는 의미를 갖고 있다.) 아래 그림의 경우 점 A는 (a, d)라는 의미가 부여되었고 점 B는 (c, f)라는 의미가 부여되었다. 이때 의미라는 것은 좌표를 말한다. 좌표의 앞에 있는 값은 x축 기준에 해당하는 값을 뒤에 있는 값은 y축에 해당하는 값을 부여 함으로써 좌표를 세운다고 한다. 기준을 통한 이런 방식(좌표를 세우는 방식)을 통해 어떤 점이든 의미를 부여할 수 있다.

좌표평면에서 닮음 찾기

본격적으로 내분점과 외분점을 표현하기에 앞서 아래의 그림에서 닮음인 도형을 찾아보자. 그리고 각 좌표점들 간에 길이를 표현해보자.

지금까지의 단계를 따라왔다면 이제 내분과 외분점을 구하는 것은 매우 쉽다. 이제 다음의 경우를 살펴보자.

위 그림에서 점 P가 선분 AB를 m:n으로 내분하는 점이라고 하면 아래의 그림과 같이 생각할 수 있다.

위 그림을 보면 닮음인 두 도형을 표현한 것이 있다. 두 도형의 아래 변은 x값의 비가 되며 높이는 y값의 비가 된다. 밑변과 높이 모두 동일한 비를 갖고 있으며 이유는 닮음이기 때문이다. 그럼 점 P의 위치를 a, c, d, f를 이용해서 내분점을 표현해 보자.

내분점의 x, y 각각의 위치의 형식은 같다는 것이 특징이다.

외분점은 선분 AB의 밖에 존재하는 점으로 아래 그림과 같은 닮음과 관계가 있다. (아래의 그림의 경우 m> n이며 m이 크면 점 B의 옆에 만약 n> m이면 외분점은 점 A의 옆에 존재한다.)

내분과 외분에서 알아두면 도움 되는 정리 <메넬라우스 정리> <각 이등분선의 정리>

아래의 이미지를 클릭하시면 과정을 볼 수 있습니다.

<메넬라우스 정리를 이용한 기출문제> 이미지를 클릭하시면 풀이설명으로 연결됩니다.

<각이등분선을 이용한 내분 기출문제> 이미지 클릭 시 풀이로 연결됩니다.