삼각함수 시작하기

탑클래스의 수학문단속 첫 번째 이야기는 삼각함수 시작 하기입니다. 본 콘텐츠의 제작 목적은 고등학교 2학년 수 1 공통 과정의 삼각함수 문제를 풀 수 있게 하기 위한 기초 개념 강의입니다.

 

1. 시초선, 동경, 각의 부호

(너와 나의 위치)   

 

 옆의 그림과 같이 좌표평면 위에 있는 두 점 A, B의 위치를 A와 B의 관점에서 위치를 설명 하고자 한다면 점 B는 A에서 아래로 3칸 오른쪽으로 5칸에 위치해 있다. 앞서 표현한 위치는 점 A를 기준으로 아래로 오른쪽으로 라고 표현을 했는데 이는 위치를 표현하기 위해 2차원 평면 위에 x축과 y축을 기준으로 표현하고 있다.  

 

 

그런데 위치를 표현하는 방법은 이전의 좌표평면을 통한 표현 밖에 없을까? 사실 조금 더 직관적인 방법이 있다. 바로 극 좌표계라고 부르는 방법이다.

 

극 좌표계는 평면 상의 위치를 표현하기 위한 좌표 시스템으로 이 좌표 시스템은 원점과 극축(axis)이라고 불리는 두 개의 선으로 구성되며 이중 x축의 양의 방향을 시초선이라고 부르며 동경(점을 연결하는 선이 극축과 이루는)이라는 선을 통해 위치를 (r, θ)로 표현한다. 여기서 r은 원점으로부터의 거리를 나타내는 양수이고, θ는 시초선과 동경의 각도이다.

각도 θ는 일반적으로 라디안(radian)으로 표현되며, 원점에서 극축까지 반시계 방향으로 회전한 각도를 나타낸다. 이때 반시계 방향으로 회전한 개념은 플러스 시계방향으로 회전한 개념은 마이너스로 표현한다. 

 

 

2. 일반각

(결국 서로 같다)

 

위 그림에서 표현된 동경은 모두 다른 각도로 표현되어 있으나 결국 본질은 같은 방향을 의미한다. 위와 같이 위치를 표현한 것을 일반각이라고 하며 직관적인 위치를 표현하기 위해서는 알파각을 만들어 내면 보기 싶다.

여기서 보정수라고 한것은 본인이 지어낸 용어로 몇 회전을 한 것을 의미하며 알파각은 시초선과 동경이 이루는 가장 작은 각을 표현한다.(물론 양의 값을 기준으로 했을 때)

 

<예시문항>  (이미지를 클릭하시면 풀이 영상을 확인할 수 있어요.)

 

3. 사분면의 각

 

 왼쪽 그림과 같이 좌표평면을 4개의 영역으로 나눠 반시계 방향으로 제1사분면 제2사분면 제3사분면, 제4 사분면으로 정의(인간들 사이에 약속)하였다. 따라서 동경의 알파 값에 따라 동경이 어느 사분면에 있는 각이다라고 이야기할 수 있다. 그런데 각 사분면의 영역을 표현한 식을 보면 0도와 90도 180도 270도 그리고 360도는 정의가 되어 있지 않다. 이 각들은 경계라고 부르며 어느 사분면에도 속하지 않는다. 

 

 

<예시문항>

4. 두 동경의 위치 관계

(알파의 특별함 그리고 대칭성)

 왼쪽의 그림은 어떤 두 동경이 x축 대칭인 경우를 표현한 것으로 수식으로 표현할 경우 특정 패턴이 있음을 알 수 있다. 즉 대칭인 두 동경 모두 보정수를 통해 알파 플러스와 마이너스를 통해 위치를 표현하고 있는 것이며 정확한 세타값의 동경을 구하기 위해서는 알파 부분을 소거해 주면 된다. 

 

(이미지를 클릭하면 설명 영상으로 이동합니다.)

 

 

 

y축 대칭인 경우도 마찬가지로 보정수로 임의의 각을 표현하고 알파각을 통해 대칭성을 나타내면 방정식 형태로 동경을 나타낼 수 있다.

 

 

(이미지를 클릭하면 설명 영상으로 이동합니다.)

 

 

 

 

y=x와 같은 도형에 대한 선대칭의 경우 도형 자체에 대한 각을 먼저 고려하고 대칭인 각을 알파로 만들어 방정식 형태를 만들면 됩니다.

 

 

 

(이미지를 클릭하면 설명 영상으로 이동합니다.)