탑클래스의 수학 문단속 - 직선의 방정식
1. 기울기와 한점
ㄱ. 기울기
기울기는 어떤 직선의 Character 를 부여합니다. 그래서 매우 중요합니다. 그런데 정말 쉬운 개념입니다. 어떤 직선이 있습니다. 예를 들면 아래와 같은 직선이 있습니다. 이제 이 직선을 다른 곳에 있는 친구에게 동일하게 그릴 수 있게 한다고 해봅시다. 어떻게 정보를 알려줘야 정확하게 동일한 그림을 그릴 수 있을까요? (물론 좌표계는 동일합니다. ;; x,y축의 간격 등)
정답은 기울기와 어떤 점을 지나는지 입니다. 기울기는 말 그대로 직선이 축을 기준으로 기울어진 정도를 말합니다. 그리고 기울기의 정의는 x값에 따라 y값이 변하는 정도의 비율입니다. (비율은 그냥 나누기 입니다.)
아래 그림을 살펴보면 삼각형 ABD와 삼각형 ACE는 닮음 삼각형이고 이들의 밑변과 높이의 길이비는 항상 1/2 입니다. 즉 점 A, B, C 를 잇는 직선의 기울기는 1/2 이며 기울기의 부호 +와 -는 x값이 증가 함에 따라 y값이 증가 혹은 감소로 결정합니다. 즉 점 A에서 점 B로 혹은 점A에서 점C로 이동함에 따라 x와 y값의 변화를 서술하면 됩니다. 이런 방식을 통해 기울기를 알게 되면 어떤 직선의 특성을 기울기 관점에서 분석하고 표현이 됩니다.
<기울기 표현 예시>
아래의 그림은 점심시간의 지윤이와 하윤이의 시간에 따른 식사량입니다. 지윤의 식사량 기울기는 3/2이고 하윤이의 식사량은 2/3입니다. 이를 통해 알 수 있는 것은 이둘의 섭취량은 9:4라는 것을 알 수 있고 지윤이가 월등히 건강하다는 것을 알 수 있습니다. 이 예시는 시간당 섭취양을 든 것이며 기준을 어떻게 선택하는 가에 따라 기울기 자체에 의미가 생기고 크기를 통해 특성을 알 수 있습니다.
ㄴ. 점을 통해 IDENTITY를 부여
기울기 + 한 점은 유일한 직선을 만들어 낼 수 있게 합니다. 같은 기울기의 직선 역시 점을 통해 동일한 직선인지 혹은 다른 직선인지 구분을 할 수 있게 합니다. 아래 그림을 보면 두 직선이 있는데 기울기는 같고 지나는 점은 다른 두 직선이 있습니다. 기울기가 같아 두 직선의 특성은 같지만 어떤 점을 지나는지에 의해 유일한 직선의 방정식이 만들어 지게 됩니다. 하나의 직선의 방정식을 세우는 방법은 아래의 그림에 표현 되어 있으며 한 두번 연습을 하면 쉽게 만들 수 있습니다.
ㄷ. 두 점을 통해 기울기와 직선의 방정식을 구하기
두 점이 주어진 경우 주어진 두 점을 통해 기울기와 어떤 한 직선을 정의 할 수 있습니다. 우선 아래의 그림은 점 (1,3)에서 점(-2,1)을 지나는 직선으로 보았을 때 기울기를 표현하는 방법을 그리고 아래 두 번째 이미지의 경우 두 점을 이용하여 직선의 방정식을 세우는 과정을 표현해보았습니다. 주어진 두 점을 지나는 직선은 모두 같은 직선이므로 두 점 중 어떤 점을 이용하여 직선의 방정식을 세워도 같은 직선이 됩니다.
<예시문제> 이미지 클릭시 풀이 영상으로 연결됩니다.
